Cos'è teorema di darboux?

Teorema di Darboux

Il Teorema di Darboux (chiamato anche teorema dei valori intermedi per derivate) è un risultato importante in analisi matematica che afferma che la derivata di una funzione differenziabile, anche se non continua, soddisfa la proprietà del valore intermedio.

Enunciato:

Sia f una funzione differenziabile sull'intervallo [a, b]. Allora, per ogni y compreso tra f'(a) e f'(b), esiste un c in (a, b) tale che f'(c) = y.

In altre parole, se f' è la derivata di una funzione f, allora f' assume ogni valore tra f'(a) e f'(b) almeno una volta nell'intervallo (a, b).

Implicazioni:

• Discontinuità delle derivate: Il teorema implica che se una funzione f è differenziabile, la sua derivata f' può essere discontinua, ma non può avere discontinuità di salto. Questo significa che f' non può passare bruscamente da un valore all'altro. Se f' ha una discontinuità, deve essere una discontinuità essenziale o una discontinuità rimovibile.

• Analogia con il Teorema dei Valori Intermedi: Il teorema di Darboux è un'estensione del <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/teorema%20dei%20valori%20intermedi">Teorema dei Valori Intermedi</a> (TVI). Il TVI si applica a funzioni continue, mentre il teorema di Darboux si applica a derivate, che non devono necessariamente essere continue.

• Utilità: Il teorema di Darboux è utile per determinare se una data funzione può essere la derivata di un'altra funzione. Ad esempio, se una funzione ha una discontinuità di salto, non può essere la derivata di nessuna funzione differenziabile.

Dimostrazione (Idea):

La dimostrazione del teorema di Darboux si basa sull'applicazione del teorema del valore estremo. Supponiamo senza perdita di generalità che f'(a) < y < f'(b). Considera la funzione g(x) = f(x) - yx. Poiché g è continua su [a, b], per il teorema del valore estremo assume un minimo in un punto c in [a, b]. Se c è uguale ad a, allora considerando valori x > a abbastanza vicini ad a si dimostra che f'(a) >= y, contraddicendo l'ipotesi f'(a) < y. Similmente, se c fosse b, si otterrebbe che f'(b) <= y, che contraddice f'(b) > y. Quindi c deve essere in (a, b). Dato che c è un punto di minimo interno, g'(c) = 0. Dunque, f'(c) - y = 0, e quindi f'(c) = y.

Esempio:

La funzione

f(x) = x^2 * sin(1/x),  se x != 0
f(0) = 0

ha derivata

f'(x) = 2x * sin(1/x) - cos(1/x), se x != 0
f'(0) = 0

La derivata f'(x) non è continua in x = 0, ma soddisfa il teorema di Darboux. In ogni intervallo contenente 0, f'(x) assume tutti i valori tra -1 e 1.

Riassumendo, il Teorema di Darboux garantisce la proprietà del valore intermedio per le derivate, anche se queste non sono continue, e permette di distinguere funzioni che possono essere derivate da quelle che non lo possono.